Sabtu, 29 Desember 2012


RING POLINOMIAL
7.1 . Polinomial atas ring
Jika R merupakan sebuah ring, maka polynomial atas ring R dinotasikan dengan
F(x) = a0x0 + a1x1 + a2x2 + …….. + anxn + 0xn+1 + 0xn+2 + …….
Dengan symbol x bukan elemen dari R dan dikenal sebagai indeterminate atas ring R. sedangkan a0x0 , a1x1 , a2x2 ,…….. , anxn , 0xn+1 , 0xn+2 , ……., disebut suku-suku dari polynomial f(x) dan a0 , a1 , a2 ,…….. , an , 0 , 0 , ……., disebut koefisien dari suku-suku tersebut. Perhatikan bahwa setiap polynomial hanya terdapat n suku yang tidak nol, sehingga polynomial di atas sering juga ditulis dengan
F(x) = a0x0 + a1x1 + a2x2 + … ….. + anxn.
                        Bentuk umum dari suatu polynomial   adalah
p(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + ... + anxn = ,
 dimana ai adalah koofesien dari p(x). Bila ≠ 0 maka derajat dari p(x) adalah nol.
Contoh:
     P(x) = 3  +  - 2x +1 , adalah polinom yang mempunyai derajat 6.
                 Jika F(x) = a0x0 + a1x1 + a2x2 + …….. + anxn + ……. Merupakan polynomial atas ring R dengan an ≠ 0 dan ai = 0 untuk setiap I > n, maka polynomial demikian disebut polynomial berderajat n dan dituliskan dengan deg(f(x) = n. dalam kasus ini anxn disebut suku utamadari polynomial dan an disebut koefisien utama.
                 Jika ai = 0 untuk setiap I, maka f(x) disebut polynomial nol dan kita tidak mendefinisikan derajat dari polynomial nol. Polynomial F(x) = a0x0 dengan a0 ≠ 0 disebut polynomial konstan dan derajat polynomial konstan adalah nol.
                 Jika R merupakan ring dengan elemen satuan dan
f(x) = a0x0 + a1x1 + a2x2 + …….. + anxn polynomial ats ring R dengan an adalah elemen satuan dari R, maka polynomial demikian disebut polynomial monik.
Dua polynomial atas ring R .
f(x) = a0x0 + a1x1 + a2x2 + …….. + anxn + ………..
g(x) = b0x0 + b1x1 + b2x2 + …….. + bnxn + ………..
dikatakan sama jika ai = bi untuk setiap i
selanjutnya jika R merupakan ring, maka kita notasikan R[x] sebagai himpunan semua polynomial atas ring R dengan indeterminate x, kemudian operasi penjumlahan pada himpunan R[x] didefinisikan sebagai berikut :
                 definisi 7.1.1, jika f(x) = a0x0 + a1x1 + a2x2 + …….. + anxn + ……. Dan
      g(x) = b0x0 + b1x1 + b2x2 + …….. + bnxn + …….
Sebarang dua polynomial didalam R[x], maka jumlah dari f(x) dan g(x) dinotasikan dengan f(x) + g(x) dan difenisikan dengan
f(x) + g(x) = (a0 + b0)x0 + (a1 + b1)x1 +  (a2 + b2)x2 +…… + (an + bn)xn + ……..
dari definisi diatas jelas bahwa jumlah dua polynomial didalam R[x] merupakan polynomial didalam R[x] lagi. Jika f(x) dan g(x) merupakan dua polynomial tidak nol dari R[x] maka diperoleh        deg{ f(x) + g(x) } ≤ maks {deg (f(x)), deg (g(x)) }.
                 Operasi perkalian didefenisikan sebagai berikut :
Definisi 7.1.2, jika f(x) = a0x0 + a1x1 + a2x2 + …….. + anxn + ……. Dan
  g(x) = b0x0 + b1x1 + b2x2 + …….. + bnxn + …….
Sebarang dua polynomial didalam R[x], maka perkalian dari f(x) dan g(x) dinotasikan dengan f(x) g(x) dan difenisikan dengan :
F(x) g(x) = c0x0 + c1x1 + c2x2 + ……. + cnxn + …..
Dengan c1 = ∑ajbk
                    J+k = i
Berarti :
C0 = a0b0
C1 = a0b1 + a1b0
C2 = a0b2 + a1b1+ a2b0
.
.
Ci = a0bi + a1bi-1+ a2bi-2 + …. + aib0
Jelas bahwa perkalian sebarang dua polynomial didalam R[x] merupakan polynomial didalam R[x] lagi. Jika f(x) dan g(x) merupakan dua polynomial di dalam R[x] maka diperoleh      deg{ f(x) g(x) } ≤ deg (f(x)) + deg (g(x)) .
                       

Definisi dari kesamaan dua buah polinom, yaitu:
Misalkan dua buah polinom p(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + ... + anxn dan
 q(x) = b0 + b1x1 + b2x2 + ... + bmxm  dikatakan sama jika dan hanya jika a1 = b1 untuk semua I ≥ 0.
Contoh:
3  +  - 2x +1 ≠ 3  +  - 2x +1, karena terdapat koefesien yang tidak sama, yaitu x4 di ruas kanan. Sedangkan 3  +  - 2x +1 =  3  +  - 2x +1 karena untuk masing masing suku yang bersesuaian mempunyai kooefesien yang sama.:
Misalkan K adalah suatu Field. Secara formal, suatu Polinomial f di atas K adalah suatu barisan tak  hingga elemen K pada yang semua kecuali sejumlah hingga dari mereka adalah 0: yakni
f = ( ..., 0, , ...,  ,  )
atau,
f(t) =  antn + …+ a1t + a0
di sini simbol t digunakan untuk menyatakan sesuatu yang tidak tertentu. Elemen ak disebut koefis;en ke k dari f.
Jika n adalah integer terbesar, dengan an ≠ 0, maka kita katakan bahwa derajat dari f adalah n, ditulis der(f) =n.
Kita juga menyebut an adalah koefisien terdepan dari f, dan, jika an = 1, kita menyebut f suatu Polinomial Monik.
Pada lain pihak, jika setiap koefisien dari f adalah 0 maka f disebut Polinomial Nol, dituliskan 
f= O.Derajat dari Polinomial Nol tidak terdefinisi.
Misalkan K[t] koleksi semua Polinomial f(t). Penjumlahan dan perkalian didetinisikan dalam K[t] sebagai berikut.
f(t) =  antn + …+ a1t + a0
g(t) =  bmtm + …+ b1t + b0




Untuk perkalian dan penjumlahan dua buah polinom didefinisikan sebagai berikut
Definisi :
Misalkan dua buah polinom p(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + ... + anxn dan, q(x) = b0 + b1x1 + b2x2 + ... + bmxm   , p(x) + q(x) = c0 + c1x1 + c2x2 + … + ckxk dimana k = maks{n,m} untuk setiap i, ci = ai + bi, untuk 0 ≤ i ≤  k.
Definisi :
Misalkan dua buah polinom p(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + ... + anxn dan, q(x) = b0 + b1x1 + b2x2 + ... + bmxm   , p(x) . q(x) = c0 + c1x1 + c2x2 + … + ckxk dimana k = n + m untuk setiap i, ci = aib0 + ai-1b1 + … + a1bi-1 + a0bi.
Dari definisi dan sifat-sifat polinom-polinom tersebut, berikut merupakan definisi dari Ring Polinom.
Definisi  :
Misalkan R adalah suatu Ring Komutatif. R[x] dikatakan sebagai Ring Polinom atas R dengan R[x] = {p(x), q(x), r(x), … } untuk
p(x) =  , q(x) =  , ….. dan  € R

soal dan jawaban :
1. Jika R merupakan sebuah ring dan f(x) = 4 + 3x + 2x2 + 6x3 + x4 adalah polinomial atas    ring R.Tentukanlah :
a. Suku – suku dari polinomial f(x)
b. Koefisien suku- suku tersebut
Jawab :
   f(x) = a0x0 + a1x1 + a2x2 +...+ anxn
    
           f(x) = 4 + 3x + 2x2 + 6x3 + x4
a). Suku-suku dari polinomial f(x) yaitu :
     a0x0 , a1x1 , a2x2,..., anxn
                    Maka suku-suku dari polinomial f(x) = 4 + 3x + 2x2 + 6x3 + x4 adalah :
               4, 3x , 2x2 ,6x3 dan x4
b). Koefisien dari suku-suku tersebut yaitu :
      a0 , a1 , a2,..., an
                Maka koefisien dari suku-suku tersebut adalah :
                 4. 3, 2, dan 1

2. Diketahui Z4 adalah ring dari bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan modulo 4. Jika f(x) = 2 + 2x4 dan g(x) = 2x4. Apakah f(x) + g(x) merupakan dua polinomial yang koefisiennya merupakan elemen di Z4?
Jawab :
Z4 = { 0,1,2,3 }                        ( Z4, +4 )
f(x) = 2 + 2x4
Ø       a0 = 2, a1 = 0, a2 = 0, a3 = 0, a4 = 2
g(x) = 2x4
Ø       b0 = 0, b1 = 0, b2 = 0, b3 = 0, b4 = 2
f(x)  +  g(x) = ( a0 +4 b0 )x0 + ( a1 +4 b1 )x1 + ( a2 +4 b2 )x2 + ( a3 +4 b3 )x3 + ( a4 +4 b4 )x4
                              = ( 2 + 0 ) x0+ ( 0 +4 0 )x1 + ( 0 +4 0 )x2 + ( 0 +4 0 )x3 + ( 2 +4 2 )x4
                                = 2 + ( 2 +4 2 )x4
                                 = 2 + ( 0 ) x4
                                 = 2 + 0
                        = 2                         2 elemen Z4
v  Jadi, f(x) + g(x) merupakan dua polinomial yang koefisiennya merupakan elemen di Z4, karena f(x) + g(x) = 2, dan 2 adalah salah satu anggota dari Z4.

3. Misalkan p(x) dan q(x) dengan p(x) = 2x2 + 2 dan q(x) = 2x + 2, maka :
p(x) + q(x) = (2x2 + 2) + (2x + 2)
                  = 2x2 + 2x + 4

4. Misalkan p(x) dan q(x) adalah polinom-polinom pada Z3[x], dengan
p(x) = 2x2 + 2 dan q(x) = 2x + 2, maka :
p(x) . q(x) = (2x2 + 2) . (2x + 2)
     = (2.2)  + (2.2)x + (2.2)x2 + (2.2)
     = x0 + x + x2 + 1
     = x2 + x + 1
Dari soal 3,4 diatas tersebut, bila tidak ada penjelasan mengenai koefisien maka polinomnya dianggap sebagai bilangan real. Tetapi bila ada penjelasan lebih lanjut, maka koefisien sesuai dengan Ring yang ditunjuk. Pada Z3[x], artinya koefisiennya adalah hanya 0, 1 dan 2 saja.

5. misalkan z5 = {0,1,2,3,4 }, jelas z5 merupakan ring terhadap operasi penjumlahan modulo 5, jika f(x) = 3 + 4x + 2x2 dan g(x) = 1 + 3x + 4x2 + 2x3 merupakan dua polynomial atas ring (  z5, +5, x5) maka tentukan f(x) + g(x) ?
     Diket : f(x) = 3 + 4x + 2x2
g(x) = 1 + 3x + 4x2 + 2x3
            maka diperoleh :
            a0 = 3               b0 = 1  
a1 = 4               b1 = 3
a2 = 2               b2 = 4
a3 = 0               b3 = 2
ditanya : f(x) + g(x) ….. ?
jawab :
f(x) + g(x) = (a0 + b0)x0 + (a1 + b1)x1 +  (a2 + b2)x2 + (a3 + b3)x3
f(x) + g(x) = ( 3+1 ) x0 + ( 4+3 ) x1 + ( 2+4 ) x2 + ( 0+2) x3
f(x) + g(x) = 4 x0 + 2 x1 + 1 x2 + 2 x3
     jadi, f(x) + g(x) = 4 + 2 x + x2 + 2 x3

6. misalkan z5 = {0,1,2,3,4 }, jelas z5 merupakan ring terhadap operasi perkalian modulo 5, jika f(x) = 3 + 4x + 2x2 dan g(x) = 1 + 3x + 4x2 + 2x3 merupakan dua polynomial atas ring (  z5, +5, x5) maka tentukan f(x) + g(x) ?
     Diket : f(x) = 3 + 4x + 2x2
g(x) = 1 + 3x + 4x2 + 2x3
maka diperoleh :
a0 = 3               b0 = 1  
a1 = 4               b1 = 3
a2 = 2               b2 = 4
a3 = 0               b3 = 2
a4 = 0               b4 = 0
a5 = 0               b5 = 0
ditanya : f(x) g(x) ….. ?
jawab :
f(x) g(x) = c0x0 + c1x1 + c2x2 + ……. + c5x5
C0 = a0b0
                C0 = 3.1 = 3x0
C1 = a0b1 + a1b0
            C1 = 3.3 + 4.1 = 9 +4 = 3x1
C2 = a0b2 + a1b1+ a2b0
            C2 = 3.4 + 4.3 + 2.1 = 12 + 12 + 2 = 1x2
C3 = a0b3 + a1b2 + a2b1 + a3b0
            C3 = 3.2 + 4.4 + 2.3 + 0.1 = 6 + 16 + 6 + 0 = 3x3
C4 = a0b4 + a1b3 + a2b2 + a3b1 + a4b0
            C4 = 3.0 + 4.2 + 2.4 + 0.3 + 0.1 = 0 + 8 + 8 + 0 + 0 = 1x4
C5 = a0b5 + a1b4 + a2b3 + a3b2 + a4b1+ a5b0
C5 = 3.0 + 4.0 + 2.2 + 0.4 + 0.3 + 0.1 = 0 + 0 + 4 + 0 + 0 + 0 = 4x5
f(x) g(x) = c0x0 + c1x1 + c2x2 + ……. + c5x5
f(x) g(x) = 3x0 + 3x1 + 1x2 + 3x3 + 1x4 + 4x5
jadi, f(x) g(x) = 3 + 3x + x2 + 3x3 + x4 + 4x5

7. Diketahui, Polinom f(x) =    +2x + 2 dan g(x) =  + 5
Carilah f(x) + g(x)  dalam  (x) !
Jawab :
f(x) =    +2x + 2            ,  = 3 ,   = 1  ,   = 2  ,    = 2
g(x) =  + 5                             ,  = 0 ,   = 2  ,   = 0  ,    = 5
         )  + (     )   + (     )  + (     )
                          =    + (2 + 0 )   + (1 + 2)  + (3 + 0)
                                       =     + 2   + 3  + 3
  Jadi, f(x) + g(x) = 3 + 2x + 3  + 3
8. Diketahui, Polinom f(x) =    +3x - 1 dan g(x) =    +x + 1
Carilah f(x) g(x)  dalam  (x) !
Jawab :
 f(x) =    +3x - 1            a5 = 0 ,  a4 = 0 ,  = 4 ,   = -1  ,   = 3  ,    = -1
 g(x) =    +x + 1          b5 = 0  , b4 = 0 ,  = 3 ,   = 2  ,   = 1  ,    = 1
 f(x)g(x) =    +    +    + ……. + c5x5
C0 = a0b0
                C0 = -1.1 = -1x0
C1 = a0b1 + a1b0
            C1 = -1.1 + 3.1 = -1+3 = 2x1
C2 = a0b2 + a1b1+ a2b0
            C2 = -1.2 + 3.1 + (-1).1 = -2 + 3 -1 = 0x2
C3 = a0b3 + a1b2 + a2b1 + a3b0
            C3 = -1.3 + 3.2 + (-1)1 + 4.1 = -3 + 6 -1 +4 = 1x3
C4 = a0b4 + a1b3 + a2b2 + a3b1 + a4b0
            C4 = -1.0 + 3.3 +(-1).2 + 4.3 + 0.1 = 0 + 9 -2 +12 +0 = 4x4
C5 = a0b5 + a1b4 + a2b3 + a3b2 + a4b1+ a5b0
C5 = -1.0 + 3.0 + (-1).3 + 4.2 + 0.1 + 0.1 = 0 + 0 -3 + 8 + 0 + 0 = 0x5
f(x) g(x) = c0x0 + c1x1 + c2x2 + ……. + c5x5
f(x) g(x) = -1x0 + 2x1 + 0x2 + 1x3 + 4x4 + 0x5
jadi, f(x) g(x) = -1 + 2x + x3 + 4x4

9. misalkan z6 = ( 0,1,2,3,4,5 ) jelas z6 merupakan ring terhadap operasi penjumlahan pada modulo 6, jika f(x) = 2 + 3x2 – 5x3 – 4x5 dan  g(x) = -5 + 4x + 5x2 – 7x3 – 5x5 merupakan dua polynomial atas ring (  z6, +6, x6) maka tentukan f(x) + g(x) ?
Diket :
f(x) = 2 + 3x2 – 5x3 – 4x5
g(x) = -5 + 4x + 5x2 – 7x3 – 5x5
maka diperoleh :
a0 = 2               b0 = -5 
a1 = 0               b1 = 4
a2 = 3               b2 = 5
a3 = -5              b3 = -7
a4 = 0               b4 = 0
a5 = -4              b5 = -5
ditanya : f(x) + g(x) ….. ?
jawab :
f(x) + g(x) = (a0 + b0)x0 + (a1 + b1)x1 +  (a2 + b2)x2 + (a3 + b3)x3 + (a4 + b4)x4 + (a5 + b5)x5
f(x) + g(x) = (2+(-5)) x0 + (0+4) x1 + (3+5) x2 + (-5+ (-7)) x3 + (0+0) x4+ (-4 + (-5)) x5
f(x) + g(x) = 3x0 + 4x1 + 2 x2 + 0x3 + 0x4 + (-3) x5
jadi, f(x) + g(x) = 3 + 4x + 2 x2 -3x5

10. misalkan z6 = ( 0,1,2,3,4,5 ) jelas z6 merupakan ring terhadap operasi perkalian pada modulo 6, jika f(x) = 2 + 3x2 – 5x3 – 4x5 dan  g(x) = -5 + 4x + 5x2 – 7x3 – 5x5 merupakan dua polynomial atas ring (  z6, +6, x6) maka tentukan f(x) + g(x) ?
Diket :
f(x) = 2 + 3x2 – 5x3 – 4x5
g(x) = -5 + 4x + 5x2 – 7x3 – 5x5
maka diperoleh :
a0 = 2               b0 = -5 
a1 = 0               b1 = 4
a2 = 3               b2 = 5
a3 = -5              b3 = -7
a4 = 0               b4 = 0
a5 = -4              b5 = -5
a6 = 0               b6 = 0
ditanya : f(x) g(x) ….. ?
jawab :
f(x) g(x) = c0x0 + c1x1 + c2x2 + ……. + c5x5
C0 = a0b0
                C0 = 2.-5 = 2x0
C1 = a0b1 + a1b0
            C1 = 2.4 + 0.-5 = 8 + 0 = 2x1
C2 = a0b2 + a1b1+ a2b0
            C2 = 2.5 + 0.4 + 3.-5 = 10 + 0 -15 = 1x2
C3 = a0b3 + a1b2 + a2b1 + a3b0
            C3 = 2.-7 + 0.5 + 3.4 + (-5.-5) = -14 + 0 + 12 + 25 = 5x3
C4 = a0b4 + a1b3 + a2b2 + a3b1 + a4b0
            C4 = 2.0 + 0.-7 + 3.5 + (-5).4 + 0.-5 = 0 + 0 + 15 + (-20) + 0 = 1x4
C5 = a0b5 + a1b4 + a2b3 + a3b2 + a4b1+ a5b0
C5 = 2.-5 + 0.0 + 3.-7 + (-5).5 +0.4 + (-4)(-5) = -10 + 0 -21 -25 +0 +20 = 0x5
C6 = a0b6 + a1b5 + a2b4 + a3b3 + a4b2+ a5b1 + a6b0
C6 = 2.0 + 0.-5 + 3.0 + (-5).-7 + 0.5 + (-4).4 + 0.-5 = 0+0 +0 +35+0 -16+0 = 1x6
f(x) g(x) = c0x0 + c1x1 + c2x2 + ……. + c6x6
f(x) g(x) = 2x0 + 2x1 + 1x2 + 5x3 + 1x4 + 0x5+ 1x6
jadi, f(x) g(x) = 2 + 2x + x2 + 5x3 + x4 + x6





   
 










RING POLINOMIAL
7.1 . Polinomial atas ring
Jika R merupakan sebuah ring, maka polynomial atas ring R dinotasikan dengan
F(x) = a0x0 + a1x1 + a2x2 + …….. + anxn + 0xn+1 + 0xn+2 + …….
Dengan symbol x bukan elemen dari R dan dikenal sebagai indeterminate atas ring R. sedangkan a0x0 , a1x1 , a2x2 ,…….. , anxn , 0xn+1 , 0xn+2 , ……., disebut suku-suku dari polynomial f(x) dan a0 , a1 , a2 ,…….. , an , 0 , 0 , ……., disebut koefisien dari suku-suku tersebut. Perhatikan bahwa setiap polynomial hanya terdapat n suku yang tidak nol, sehingga polynomial di atas sering juga ditulis dengan
F(x) = a0x0 + a1x1 + a2x2 + … ….. + anxn.
                        Bentuk umum dari suatu polynomial   adalah
p(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + ... + anxn = ,
 dimana ai adalah koofesien dari p(x). Bila ≠ 0 maka derajat dari p(x) adalah nol.
Contoh:
     P(x) = 3  +  - 2x +1 , adalah polinom yang mempunyai derajat 6.
                 Jika F(x) = a0x0 + a1x1 + a2x2 + …….. + anxn + ……. Merupakan polynomial atas ring R dengan an ≠ 0 dan ai = 0 untuk setiap I > n, maka polynomial demikian disebut polynomial berderajat n dan dituliskan dengan deg(f(x) = n. dalam kasus ini anxn disebut suku utamadari polynomial dan an disebut koefisien utama.
                 Jika ai = 0 untuk setiap I, maka f(x) disebut polynomial nol dan kita tidak mendefinisikan derajat dari polynomial nol. Polynomial F(x) = a0x0 dengan a0 ≠ 0 disebut polynomial konstan dan derajat polynomial konstan adalah nol.
                 Jika R merupakan ring dengan elemen satuan dan
f(x) = a0x0 + a1x1 + a2x2 + …….. + anxn polynomial ats ring R dengan an adalah elemen satuan dari R, maka polynomial demikian disebut polynomial monik.
Dua polynomial atas ring R .
f(x) = a0x0 + a1x1 + a2x2 + …….. + anxn + ………..
g(x) = b0x0 + b1x1 + b2x2 + …….. + bnxn + ………..
dikatakan sama jika ai = bi untuk setiap i
selanjutnya jika R merupakan ring, maka kita notasikan R[x] sebagai himpunan semua polynomial atas ring R dengan indeterminate x, kemudian operasi penjumlahan pada himpunan R[x] didefinisikan sebagai berikut :
                 definisi 7.1.1, jika f(x) = a0x0 + a1x1 + a2x2 + …….. + anxn + ……. Dan
      g(x) = b0x0 + b1x1 + b2x2 + …….. + bnxn + …….
Sebarang dua polynomial didalam R[x], maka jumlah dari f(x) dan g(x) dinotasikan dengan f(x) + g(x) dan difenisikan dengan
f(x) + g(x) = (a0 + b0)x0 + (a1 + b1)x1 +  (a2 + b2)x2 +…… + (an + bn)xn + ……..
dari definisi diatas jelas bahwa jumlah dua polynomial didalam R[x] merupakan polynomial didalam R[x] lagi. Jika f(x) dan g(x) merupakan dua polynomial tidak nol dari R[x] maka diperoleh        deg{ f(x) + g(x) } ≤ maks {deg (f(x)), deg (g(x)) }.
                 Operasi perkalian didefenisikan sebagai berikut :
Definisi 7.1.2, jika f(x) = a0x0 + a1x1 + a2x2 + …….. + anxn + ……. Dan
  g(x) = b0x0 + b1x1 + b2x2 + …….. + bnxn + …….
Sebarang dua polynomial didalam R[x], maka perkalian dari f(x) dan g(x) dinotasikan dengan f(x) g(x) dan difenisikan dengan :
F(x) g(x) = c0x0 + c1x1 + c2x2 + ……. + cnxn + …..
Dengan c1 = ∑ajbk
                    J+k = i
Berarti :
C0 = a0b0
C1 = a0b1 + a1b0
C2 = a0b2 + a1b1+ a2b0
.
.
Ci = a0bi + a1bi-1+ a2bi-2 + …. + aib0
Jelas bahwa perkalian sebarang dua polynomial didalam R[x] merupakan polynomial didalam R[x] lagi. Jika f(x) dan g(x) merupakan dua polynomial di dalam R[x] maka diperoleh      deg{ f(x) g(x) } ≤ deg (f(x)) + deg (g(x)) .
                       

Definisi dari kesamaan dua buah polinom, yaitu:
Misalkan dua buah polinom p(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + ... + anxn dan
 q(x) = b0 + b1x1 + b2x2 + ... + bmxm  dikatakan sama jika dan hanya jika a1 = b1 untuk semua I ≥ 0.
Contoh:
3  +  - 2x +1 ≠ 3  +  - 2x +1, karena terdapat koefesien yang tidak sama, yaitu x4 di ruas kanan. Sedangkan 3  +  - 2x +1 =  3  +  - 2x +1 karena untuk masing masing suku yang bersesuaian mempunyai kooefesien yang sama.:
Misalkan K adalah suatu Field. Secara formal, suatu Polinomial f di atas K adalah suatu barisan tak  hingga elemen K pada yang semua kecuali sejumlah hingga dari mereka adalah 0: yakni
f = ( ..., 0, , ...,  ,  )
atau,
f(t) =  antn + …+ a1t + a0
di sini simbol t digunakan untuk menyatakan sesuatu yang tidak tertentu. Elemen ak disebut koefis;en ke k dari f.
Jika n adalah integer terbesar, dengan an ≠ 0, maka kita katakan bahwa derajat dari f adalah n, ditulis der(f) =n.
Kita juga menyebut an adalah koefisien terdepan dari f, dan, jika an = 1, kita menyebut f suatu Polinomial Monik.
Pada lain pihak, jika setiap koefisien dari f adalah 0 maka f disebut Polinomial Nol, dituliskan 
f= O.Derajat dari Polinomial Nol tidak terdefinisi.
Misalkan K[t] koleksi semua Polinomial f(t). Penjumlahan dan perkalian didetinisikan dalam K[t] sebagai berikut.
f(t) =  antn + …+ a1t + a0
g(t) =  bmtm + …+ b1t + b0




Untuk perkalian dan penjumlahan dua buah polinom didefinisikan sebagai berikut
Definisi :
Misalkan dua buah polinom p(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + ... + anxn dan, q(x) = b0 + b1x1 + b2x2 + ... + bmxm   , p(x) + q(x) = c0 + c1x1 + c2x2 + … + ckxk dimana k = maks{n,m} untuk setiap i, ci = ai + bi, untuk 0 ≤ i ≤  k.
Definisi :
Misalkan dua buah polinom p(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + ... + anxn dan, q(x) = b0 + b1x1 + b2x2 + ... + bmxm   , p(x) . q(x) = c0 + c1x1 + c2x2 + … + ckxk dimana k = n + m untuk setiap i, ci = aib0 + ai-1b1 + … + a1bi-1 + a0bi.
Dari definisi dan sifat-sifat polinom-polinom tersebut, berikut merupakan definisi dari Ring Polinom.
Definisi  :
Misalkan R adalah suatu Ring Komutatif. R[x] dikatakan sebagai Ring Polinom atas R dengan R[x] = {p(x), q(x), r(x), … } untuk
p(x) =  , q(x) =  , ….. dan  € R

soal dan jawaban :
1. Jika R merupakan sebuah ring dan f(x) = 4 + 3x + 2x2 + 6x3 + x4 adalah polinomial atas    ring R.Tentukanlah :
a. Suku – suku dari polinomial f(x)
b. Koefisien suku- suku tersebut
Jawab :
   f(x) = a0x0 + a1x1 + a2x2 +...+ anxn
    
           f(x) = 4 + 3x + 2x2 + 6x3 + x4
a). Suku-suku dari polinomial f(x) yaitu :
     a0x0 , a1x1 , a2x2,..., anxn
                    Maka suku-suku dari polinomial f(x) = 4 + 3x + 2x2 + 6x3 + x4 adalah :
               4, 3x , 2x2 ,6x3 dan x4
b). Koefisien dari suku-suku tersebut yaitu :
      a0 , a1 , a2,..., an
                Maka koefisien dari suku-suku tersebut adalah :
                 4. 3, 2, dan 1

2. Diketahui Z4 adalah ring dari bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan modulo 4. Jika f(x) = 2 + 2x4 dan g(x) = 2x4. Apakah f(x) + g(x) merupakan dua polinomial yang koefisiennya merupakan elemen di Z4?
Jawab :
Z4 = { 0,1,2,3 }                        ( Z4, +4 )
f(x) = 2 + 2x4
Ø       a0 = 2, a1 = 0, a2 = 0, a3 = 0, a4 = 2
g(x) = 2x4
Ø       b0 = 0, b1 = 0, b2 = 0, b3 = 0, b4 = 2
f(x)  +  g(x) = ( a0 +4 b0 )x0 + ( a1 +4 b1 )x1 + ( a2 +4 b2 )x2 + ( a3 +4 b3 )x3 + ( a4 +4 b4 )x4
                              = ( 2 + 0 ) x0+ ( 0 +4 0 )x1 + ( 0 +4 0 )x2 + ( 0 +4 0 )x3 + ( 2 +4 2 )x4
                                = 2 + ( 2 +4 2 )x4
                                 = 2 + ( 0 ) x4
                                 = 2 + 0
                        = 2                         2 elemen Z4
v  Jadi, f(x) + g(x) merupakan dua polinomial yang koefisiennya merupakan elemen di Z4, karena f(x) + g(x) = 2, dan 2 adalah salah satu anggota dari Z4.

3. Misalkan p(x) dan q(x) dengan p(x) = 2x2 + 2 dan q(x) = 2x + 2, maka :
p(x) + q(x) = (2x2 + 2) + (2x + 2)
                  = 2x2 + 2x + 4

4. Misalkan p(x) dan q(x) adalah polinom-polinom pada Z3[x], dengan
p(x) = 2x2 + 2 dan q(x) = 2x + 2, maka :
p(x) . q(x) = (2x2 + 2) . (2x + 2)
     = (2.2)  + (2.2)x + (2.2)x2 + (2.2)
     = x0 + x + x2 + 1
     = x2 + x + 1
Dari soal 3,4 diatas tersebut, bila tidak ada penjelasan mengenai koefisien maka polinomnya dianggap sebagai bilangan real. Tetapi bila ada penjelasan lebih lanjut, maka koefisien sesuai dengan Ring yang ditunjuk. Pada Z3[x], artinya koefisiennya adalah hanya 0, 1 dan 2 saja.

5. misalkan z5 = {0,1,2,3,4 }, jelas z5 merupakan ring terhadap operasi penjumlahan modulo 5, jika f(x) = 3 + 4x + 2x2 dan g(x) = 1 + 3x + 4x2 + 2x3 merupakan dua polynomial atas ring (  z5, +5, x5) maka tentukan f(x) + g(x) ?
     Diket : f(x) = 3 + 4x + 2x2
g(x) = 1 + 3x + 4x2 + 2x3
            maka diperoleh :
            a0 = 3               b0 = 1  
a1 = 4               b1 = 3
a2 = 2               b2 = 4
a3 = 0               b3 = 2
ditanya : f(x) + g(x) ….. ?
jawab :
f(x) + g(x) = (a0 + b0)x0 + (a1 + b1)x1 +  (a2 + b2)x2 + (a3 + b3)x3
f(x) + g(x) = ( 3+1 ) x0 + ( 4+3 ) x1 + ( 2+4 ) x2 + ( 0+2) x3
f(x) + g(x) = 4 x0 + 2 x1 + 1 x2 + 2 x3
     jadi, f(x) + g(x) = 4 + 2 x + x2 + 2 x3

6. misalkan z5 = {0,1,2,3,4 }, jelas z5 merupakan ring terhadap operasi perkalian modulo 5, jika f(x) = 3 + 4x + 2x2 dan g(x) = 1 + 3x + 4x2 + 2x3 merupakan dua polynomial atas ring (  z5, +5, x5) maka tentukan f(x) + g(x) ?
     Diket : f(x) = 3 + 4x + 2x2
g(x) = 1 + 3x + 4x2 + 2x3
maka diperoleh :
a0 = 3               b0 = 1  
a1 = 4               b1 = 3
a2 = 2               b2 = 4
a3 = 0               b3 = 2
a4 = 0               b4 = 0
a5 = 0               b5 = 0
ditanya : f(x) g(x) ….. ?
jawab :
f(x) g(x) = c0x0 + c1x1 + c2x2 + ……. + c5x5
C0 = a0b0
                C0 = 3.1 = 3x0
C1 = a0b1 + a1b0
            C1 = 3.3 + 4.1 = 9 +4 = 3x1
C2 = a0b2 + a1b1+ a2b0
            C2 = 3.4 + 4.3 + 2.1 = 12 + 12 + 2 = 1x2
C3 = a0b3 + a1b2 + a2b1 + a3b0
            C3 = 3.2 + 4.4 + 2.3 + 0.1 = 6 + 16 + 6 + 0 = 3x3
C4 = a0b4 + a1b3 + a2b2 + a3b1 + a4b0
            C4 = 3.0 + 4.2 + 2.4 + 0.3 + 0.1 = 0 + 8 + 8 + 0 + 0 = 1x4
C5 = a0b5 + a1b4 + a2b3 + a3b2 + a4b1+ a5b0
C5 = 3.0 + 4.0 + 2.2 + 0.4 + 0.3 + 0.1 = 0 + 0 + 4 + 0 + 0 + 0 = 4x5
f(x) g(x) = c0x0 + c1x1 + c2x2 + ……. + c5x5
f(x) g(x) = 3x0 + 3x1 + 1x2 + 3x3 + 1x4 + 4x5
jadi, f(x) g(x) = 3 + 3x + x2 + 3x3 + x4 + 4x5

7. Diketahui, Polinom f(x) =    +2x + 2 dan g(x) =  + 5
Carilah f(x) + g(x)  dalam  (x) !
Jawab :
f(x) =    +2x + 2            ,  = 3 ,   = 1  ,   = 2  ,    = 2
g(x) =  + 5                             ,  = 0 ,   = 2  ,   = 0  ,    = 5
         )  + (     )   + (     )  + (     )
                          =    + (2 + 0 )   + (1 + 2)  + (3 + 0)
                                       =     + 2   + 3  + 3
  Jadi, f(x) + g(x) = 3 + 2x + 3  + 3
8. Diketahui, Polinom f(x) =    +3x - 1 dan g(x) =    +x + 1
Carilah f(x) g(x)  dalam  (x) !
Jawab :
 f(x) =    +3x - 1            a5 = 0 ,  a4 = 0 ,  = 4 ,   = -1  ,   = 3  ,    = -1
 g(x) =    +x + 1          b5 = 0  , b4 = 0 ,  = 3 ,   = 2  ,   = 1  ,    = 1
 f(x)g(x) =    +    +    + ……. + c5x5
C0 = a0b0
                C0 = -1.1 = -1x0
C1 = a0b1 + a1b0
            C1 = -1.1 + 3.1 = -1+3 = 2x1
C2 = a0b2 + a1b1+ a2b0
            C2 = -1.2 + 3.1 + (-1).1 = -2 + 3 -1 = 0x2
C3 = a0b3 + a1b2 + a2b1 + a3b0
            C3 = -1.3 + 3.2 + (-1)1 + 4.1 = -3 + 6 -1 +4 = 1x3
C4 = a0b4 + a1b3 + a2b2 + a3b1 + a4b0
            C4 = -1.0 + 3.3 +(-1).2 + 4.3 + 0.1 = 0 + 9 -2 +12 +0 = 4x4
C5 = a0b5 + a1b4 + a2b3 + a3b2 + a4b1+ a5b0
C5 = -1.0 + 3.0 + (-1).3 + 4.2 + 0.1 + 0.1 = 0 + 0 -3 + 8 + 0 + 0 = 0x5
f(x) g(x) = c0x0 + c1x1 + c2x2 + ……. + c5x5
f(x) g(x) = -1x0 + 2x1 + 0x2 + 1x3 + 4x4 + 0x5
jadi, f(x) g(x) = -1 + 2x + x3 + 4x4

9. misalkan z6 = ( 0,1,2,3,4,5 ) jelas z6 merupakan ring terhadap operasi penjumlahan pada modulo 6, jika f(x) = 2 + 3x2 – 5x3 – 4x5 dan  g(x) = -5 + 4x + 5x2 – 7x3 – 5x5 merupakan dua polynomial atas ring (  z6, +6, x6) maka tentukan f(x) + g(x) ?
Diket :
f(x) = 2 + 3x2 – 5x3 – 4x5
g(x) = -5 + 4x + 5x2 – 7x3 – 5x5
maka diperoleh :
a0 = 2               b0 = -5 
a1 = 0               b1 = 4
a2 = 3               b2 = 5
a3 = -5              b3 = -7
a4 = 0               b4 = 0
a5 = -4              b5 = -5
ditanya : f(x) + g(x) ….. ?
jawab :
f(x) + g(x) = (a0 + b0)x0 + (a1 + b1)x1 +  (a2 + b2)x2 + (a3 + b3)x3 + (a4 + b4)x4 + (a5 + b5)x5
f(x) + g(x) = (2+(-5)) x0 + (0+4) x1 + (3+5) x2 + (-5+ (-7)) x3 + (0+0) x4+ (-4 + (-5)) x5
f(x) + g(x) = 3x0 + 4x1 + 2 x2 + 0x3 + 0x4 + (-3) x5
jadi, f(x) + g(x) = 3 + 4x + 2 x2 -3x5

10. misalkan z6 = ( 0,1,2,3,4,5 ) jelas z6 merupakan ring terhadap operasi perkalian pada modulo 6, jika f(x) = 2 + 3x2 – 5x3 – 4x5 dan  g(x) = -5 + 4x + 5x2 – 7x3 – 5x5 merupakan dua polynomial atas ring (  z6, +6, x6) maka tentukan f(x) + g(x) ?
Diket :
f(x) = 2 + 3x2 – 5x3 – 4x5
g(x) = -5 + 4x + 5x2 – 7x3 – 5x5
maka diperoleh :
a0 = 2               b0 = -5 
a1 = 0               b1 = 4
a2 = 3               b2 = 5
a3 = -5              b3 = -7
a4 = 0               b4 = 0
a5 = -4              b5 = -5
a6 = 0               b6 = 0
ditanya : f(x) g(x) ….. ?
jawab :
f(x) g(x) = c0x0 + c1x1 + c2x2 + ……. + c5x5
C0 = a0b0
                C0 = 2.-5 = 2x0
C1 = a0b1 + a1b0
            C1 = 2.4 + 0.-5 = 8 + 0 = 2x1
C2 = a0b2 + a1b1+ a2b0
            C2 = 2.5 + 0.4 + 3.-5 = 10 + 0 -15 = 1x2
C3 = a0b3 + a1b2 + a2b1 + a3b0
            C3 = 2.-7 + 0.5 + 3.4 + (-5.-5) = -14 + 0 + 12 + 25 = 5x3
C4 = a0b4 + a1b3 + a2b2 + a3b1 + a4b0
            C4 = 2.0 + 0.-7 + 3.5 + (-5).4 + 0.-5 = 0 + 0 + 15 + (-20) + 0 = 1x4
C5 = a0b5 + a1b4 + a2b3 + a3b2 + a4b1+ a5b0
C5 = 2.-5 + 0.0 + 3.-7 + (-5).5 +0.4 + (-4)(-5) = -10 + 0 -21 -25 +0 +20 = 0x5
C6 = a0b6 + a1b5 + a2b4 + a3b3 + a4b2+ a5b1 + a6b0
C6 = 2.0 + 0.-5 + 3.0 + (-5).-7 + 0.5 + (-4).4 + 0.-5 = 0+0 +0 +35+0 -16+0 = 1x6
f(x) g(x) = c0x0 + c1x1 + c2x2 + ……. + c6x6
f(x) g(x) = 2x0 + 2x1 + 1x2 + 5x3 + 1x4 + 0x5+ 1x6
jadi, f(x) g(x) = 2 + 2x + x2 + 5x3 + x4 + x6





   
 










Tidak ada komentar:

Poskan Komentar