happy new years
semoga tahun ini lebih baik dari tahun sebelumnya
dan semua impian bisa terwujud
Senin, 31 Desember 2012
Sabtu, 29 Desember 2012
RING POLINOMIAL
7.1
. Polinomial atas ring
Jika R merupakan
sebuah ring, maka polynomial atas ring R dinotasikan dengan
F(x)
= a0x0 + a1x1 + a2x2
+ …….. + anxn + 0xn+1 + 0xn+2 + …….
Dengan symbol x bukan elemen dari R
dan dikenal sebagai indeterminate atas ring R. sedangkan a0x0
, a1x1 , a2x2 ,…….. , anxn
, 0xn+1 , 0xn+2 , ……., disebut suku-suku dari polynomial f(x) dan a0 , a1 ,
a2 ,…….. , an , 0 , 0 , ……., disebut koefisien dari suku-suku tersebut.
Perhatikan bahwa setiap polynomial hanya terdapat n suku yang tidak nol,
sehingga polynomial di atas sering juga ditulis dengan
F(x) = a0x0 +
a1x1 + a2x2 + … ….. + anxn.
Bentuk umum dari suatu polynomial adalah
p(x) = a0 + a1x1
+ a2x2 + ... + anxn =
,
dimana ai adalah koofesien dari p(x). Bila
≠ 0 maka derajat dari p(x) adalah nol.
Contoh:
P(x) = 3
+
-
2x +1 , adalah polinom yang mempunyai derajat 6.
Jika
F(x) = a0x0 + a1x1 + a2x2
+ …….. + anxn + ……. Merupakan polynomial atas ring R
dengan an ≠ 0 dan ai = 0 untuk setiap I > n, maka
polynomial demikian disebut polynomial berderajat n dan dituliskan dengan deg(f(x) = n. dalam kasus ini anxn
disebut suku utamadari polynomial dan an disebut koefisien utama.
Jika
ai = 0 untuk setiap I, maka f(x) disebut polynomial nol dan kita
tidak mendefinisikan derajat dari polynomial nol. Polynomial F(x) = a0x0
dengan a0 ≠ 0 disebut polynomial
konstan dan derajat polynomial konstan adalah nol.
Jika
R merupakan ring dengan elemen satuan dan
f(x) = a0x0 +
a1x1 + a2x2 + …….. + anxn
polynomial ats ring R dengan an adalah elemen satuan dari R, maka
polynomial demikian disebut polynomial
monik.
Dua polynomial atas ring R .
f(x) = a0x0 +
a1x1 + a2x2 + …….. + anxn
+ ………..
g(x) = b0x0 +
b1x1 + b2x2 + …….. + bnxn
+ ………..
dikatakan sama jika ai = bi untuk setiap i
selanjutnya jika R merupakan ring,
maka kita notasikan R[x] sebagai himpunan semua polynomial atas ring R dengan
indeterminate x, kemudian operasi penjumlahan pada himpunan R[x] didefinisikan
sebagai berikut :
definisi 7.1.1, jika f(x) = a0x0
+ a1x1 + a2x2 + …….. + anxn
+ ……. Dan
g(x)
= b0x0 + b1x1 + b2x2
+ …….. + bnxn + …….
Sebarang dua
polynomial didalam R[x], maka jumlah dari f(x) dan g(x) dinotasikan dengan f(x)
+ g(x) dan difenisikan dengan
f(x) + g(x) = (a0
+ b0)x0 + (a1 + b1)x1
+ (a2 + b2)x2
+…… + (an + bn)xn + ……..
dari definisi diatas jelas bahwa
jumlah dua polynomial didalam R[x] merupakan polynomial didalam R[x] lagi. Jika
f(x) dan g(x) merupakan dua polynomial tidak nol dari R[x] maka diperoleh deg{ f(x) + g(x) } ≤ maks {deg (f(x)),
deg (g(x)) }.
Operasi
perkalian didefenisikan sebagai berikut :
Definisi
7.1.2, jika f(x) = a0x0
+ a1x1 + a2x2 + …….. + anxn
+ ……. Dan
g(x)
= b0x0 + b1x1 + b2x2
+ …….. + bnxn + …….
Sebarang dua
polynomial didalam R[x], maka perkalian dari f(x) dan g(x) dinotasikan dengan
f(x) g(x) dan difenisikan dengan :
F(x) g(x) = c0x0
+ c1x1 + c2x2 + ……. + cnxn
+ …..
Dengan c1 = ∑ajbk
J+k = i
Berarti :
C0
= a0b0
C1 = a0b1
+ a1b0
C2 = a0b2
+ a1b1+ a2b0
.
.
Ci = a0bi
+ a1bi-1+ a2bi-2 + …. + aib0
Jelas bahwa perkalian sebarang dua
polynomial didalam R[x] merupakan polynomial didalam R[x] lagi. Jika f(x) dan
g(x) merupakan dua polynomial di dalam R[x] maka diperoleh deg{ f(x) g(x) } ≤ deg (f(x)) + deg (g(x))
.
Definisi dari kesamaan dua buah polinom,
yaitu:
Misalkan
dua buah polinom p(x) = a0 + a1x1
+ a2x2 + ... + anxn dan
q(x) = b0 + b1x1
+ b2x2 + ... + bmxm dikatakan sama jika dan hanya jika a1 =
b1 untuk semua I ≥ 0.
Contoh:
3
+
-
2x +1 ≠ 3
+
-
2x +1, karena terdapat koefesien yang tidak sama, yaitu x4 di ruas
kanan. Sedangkan 3
+
-
2x +1 = 3
+
-
2x +1 karena untuk masing masing suku yang bersesuaian mempunyai kooefesien
yang sama.:
Misalkan K adalah suatu Field. Secara
formal, suatu Polinomial f di atas K adalah suatu barisan tak hingga elemen K pada yang semua kecuali
sejumlah hingga dari mereka adalah 0: yakni
f
= ( ..., 0,
, ...,
,
)
atau,
f(t)
= antn + …+ a1t
+ a0
di
sini simbol t digunakan untuk menyatakan sesuatu yang tidak tertentu. Elemen ak
disebut koefis;en ke k dari f.
Jika
n adalah integer terbesar, dengan an ≠ 0, maka kita katakan bahwa derajat
dari f adalah n, ditulis der(f) =n.
Kita
juga menyebut an adalah koefisien terdepan dari f, dan, jika
an = 1, kita menyebut f suatu Polinomial Monik.
Pada
lain pihak, jika setiap koefisien dari f adalah 0 maka f disebut Polinomial
Nol, dituliskan
f=
O.Derajat dari Polinomial Nol tidak terdefinisi.
Misalkan
K[t] koleksi semua Polinomial f(t). Penjumlahan dan perkalian didetinisikan
dalam K[t] sebagai berikut.
f(t)
= antn + …+ a1t
+ a0
g(t)
= bmtm + …+ b1t
+ b0
Untuk perkalian dan penjumlahan dua buah
polinom didefinisikan sebagai berikut
Definisi
:
Misalkan
dua buah polinom p(x) = a0 + a1x1 + a2x2
+ ... + anxn dan, q(x) = b0 + b1x1
+ b2x2 + ... + bmxm , p(x) + q(x) = c0
+ c1x1 + c2x2 + … + ckxk
dimana k = maks{n,m} untuk setiap i, ci = ai + bi,
untuk 0 ≤ i ≤ k.
Definisi
:
Misalkan
dua buah polinom p(x) = a0 + a1x1 + a2x2
+ ... + anxn dan, q(x) = b0 + b1x1
+ b2x2 + ... + bmxm , p(x) . q(x) = c0
+ c1x1 + c2x2 + … + ckxk
dimana k = n + m untuk setiap i, ci = aib0
+ ai-1b1 + … + a1bi-1 +
a0bi.
Dari
definisi dan sifat-sifat polinom-polinom tersebut, berikut merupakan definisi
dari Ring Polinom.
Definisi :
Misalkan
R adalah suatu Ring Komutatif. R[x] dikatakan sebagai Ring Polinom atas R
dengan R[x] = {p(x), q(x), r(x), … } untuk
p(x)
=
, q(x) =
,
….. dan
€
R
soal dan jawaban :
1.
Jika R merupakan sebuah ring dan f(x)
= 4 + 3x + 2x2 + 6x3
+ x4 adalah polinomial
atas ring R.Tentukanlah :
a. Suku – suku dari polinomial f(x)
b. Koefisien suku- suku tersebut
Jawab :
f(x) = a0x0 + a1x1 + a2x2 +...+ anxn
|
f(x) = 4 + 3x + 2x2 + 6x3 + x4
a).
Suku-suku dari polinomial f(x) yaitu
:
a0x0 , a1x1
, a2x2,..., anxn
Maka
suku-suku dari polinomial f(x) = 4 +
3x + 2x2 + 6x3
+ x4 adalah :
4, 3x , 2x2 ,6x3 dan x4
b).
Koefisien dari suku-suku tersebut yaitu :
a0 , a1 , a2,...,
an
Maka koefisien dari suku-suku tersebut adalah :
4. 3, 2, dan 1
2.
Diketahui Z4 adalah ring dari bilangan bulat terhadap operasi
penjumlahan modulo 4. Jika f(x) = 2 +
2x4 dan g(x) = 2x4. Apakah f(x)
+ g(x) merupakan dua polinomial yang
koefisiennya merupakan elemen di Z4?
Jawab :
Z4 = {
0,1,2,3 } ( Z4, +4
)
f(x) = 2 + 2x4
Ø
a0 = 2, a1 = 0, a2
= 0, a3 = 0, a4 = 2
g(x) = 2x4
Ø
b0 = 0, b1 = 0, b2
= 0, b3 = 0, b4 = 2
f(x) + g(x)
= ( a0 +4 b0 )x0 + ( a1 +4 b1 )x1 + ( a2 +4 b2
)x2 + ( a3 +4
b3 )x3 +
( a4 +4 b4 )x4
= ( 2 + 0 ) x0+ ( 0 +4 0 )x1 + ( 0 +4 0
)x2 + ( 0 +4
0 )x3 + ( 2 +4
2 )x4
= 2 + ( 2 +4 2 )x4
= 2 + ( 0 ) x4
= 2 + 0
= 2 2 elemen Z4
v Jadi,
f(x) + g(x) merupakan dua polinomial yang koefisiennya merupakan elemen di Z4,
karena f(x) + g(x) = 2, dan 2 adalah salah satu anggota
dari Z4.
3.
Misalkan p(x) dan q(x) dengan p(x) = 2x2 + 2 dan q(x) = 2x + 2, maka
:
p(x)
+ q(x) = (2x2 + 2) + (2x + 2)
=
2x2 + 2x + 4
4.
Misalkan p(x) dan q(x) adalah polinom-polinom pada Z3[x], dengan
p(x) = 2x2 + 2 dan q(x)
= 2x + 2, maka :
p(x) . q(x) = (2x2 + 2)
. (2x + 2)
= (2.2)
+ (2.2)x + (2.2)x2 + (2.2)
= x0 + x + x2 + 1
= x2 + x + 1
Dari
soal 3,4 diatas tersebut, bila tidak ada penjelasan mengenai koefisien maka
polinomnya dianggap sebagai bilangan real. Tetapi bila ada penjelasan lebih
lanjut, maka koefisien sesuai dengan Ring yang ditunjuk. Pada Z3[x], artinya
koefisiennya adalah hanya 0, 1 dan 2 saja.
5. misalkan z5 = {0,1,2,3,4 }, jelas z5
merupakan ring terhadap operasi penjumlahan modulo 5, jika f(x) = 3 + 4x + 2x2
dan g(x) = 1 + 3x + 4x2 + 2x3 merupakan dua polynomial
atas ring ( z5, +5,
x5) maka tentukan f(x) + g(x) ?
Diket :
f(x) = 3 + 4x + 2x2
g(x) = 1 + 3x
+ 4x2 + 2x3
maka diperoleh :
a0 = 3 b0 = 1
a1 =
4 b1 = 3
a2 = 2 b2
= 4
a3 = 0 b3
= 2
ditanya : f(x) + g(x) ….. ?
jawab :
f(x) + g(x) = (a0
+ b0)x0 + (a1 + b1)x1
+ (a2 + b2)x2
+ (a3 + b3)x3
f(x) + g(x) = (
3+1 ) x0 + ( 4+3 ) x1 + ( 2+4 ) x2 + ( 0+2) x3
f(x) + g(x) = 4
x0 + 2 x1 + 1 x2 + 2 x3
jadi,
f(x) + g(x) = 4 + 2 x + x2 + 2 x3
6.
misalkan z5 = {0,1,2,3,4 },
jelas z5 merupakan ring terhadap operasi perkalian modulo 5, jika
f(x) = 3 + 4x + 2x2 dan g(x) = 1 + 3x + 4x2 + 2x3
merupakan dua polynomial atas ring ( z5,
+5, x5) maka tentukan f(x) + g(x) ?
Diket :
f(x) = 3 + 4x + 2x2
g(x) = 1 + 3x
+ 4x2 + 2x3
maka
diperoleh :
a0 = 3 b0
= 1
a1 =
4 b1 = 3
a2 = 2 b2
= 4
a3 = 0 b3
= 2
a4 = 0 b4
= 0
a5 = 0 b5
= 0
ditanya : f(x) g(x) ….. ?
jawab :
f(x) g(x) = c0x0
+ c1x1 + c2x2 + ……. + c5x5
C0 =
a0b0
C0
= 3.1 = 3x0
C1 =
a0b1 + a1b0
C1
= 3.3 + 4.1 = 9 +4 = 3x1
C2 =
a0b2 + a1b1+ a2b0
C2 = 3.4 +
4.3 + 2.1 = 12 + 12 + 2 = 1x2
C3 =
a0b3 + a1b2 + a2b1 +
a3b0
C3 = 3.2 +
4.4 + 2.3 + 0.1 = 6 + 16 + 6 + 0 = 3x3
C4 =
a0b4 + a1b3 + a2b2 +
a3b1 + a4b0
C4 = 3.0 +
4.2 + 2.4 + 0.3 + 0.1 = 0 + 8 + 8 + 0 + 0 = 1x4
C5 =
a0b5 + a1b4 + a2b3 +
a3b2 + a4b1+ a5b0
C5 = 3.0 + 4.0 + 2.2 + 0.4 + 0.3 + 0.1 =
0 + 0 + 4 + 0 + 0 + 0 = 4x5
f(x) g(x) = c0x0
+ c1x1 + c2x2 + ……. + c5x5
f(x)
g(x) = 3x0 + 3x1 + 1x2 + 3x3 + 1x4
+ 4x5
jadi,
f(x) g(x) = 3 + 3x + x2 + 3x3 + x4 + 4x5
7.
Diketahui, Polinom f(x) =
+2x + 2 dan g(x) =
+ 5
Carilah f(x) +
g(x) dalam
(x) !
Jawab :
f(x) =
+2x + 2 ,
=
3 ,
=
1 ,
=
2 ,
=
2
g(x) =
+
5 ,
=
0 ,
=
2 ,
=
0 ,
=
5
)
+
(
)
+
(
)
+
(
)
=
+
(2 + 0 )
+
(1 + 2)
+
(3 + 0)
=
+
2
+
3
+
3
Jadi, f(x) + g(x) = 3 + 2x + 3
+
3
8. Diketahui, Polinom
f(x) =
+3x - 1 dan g(x) =
+x + 1
Carilah f(x) g(x) dalam
(x) !
Jawab :
f(x) =
+3x - 1
a5 = 0 , a4 = 0 ,
=
4 ,
=
-1 ,
=
3 ,
=
-1
g(x) =
+x
+ 1 b5
= 0 , b4 = 0 ,
=
3 ,
=
2 ,
=
1 ,
=
1
f(x)g(x) =
+
+
+
……. + c5x5
C0 =
a0b0
C0
= -1.1 = -1x0
C1 =
a0b1 + a1b0
C1
= -1.1 + 3.1 = -1+3 = 2x1
C2 =
a0b2 + a1b1+ a2b0
C2 = -1.2 +
3.1 + (-1).1 = -2 + 3 -1 = 0x2
C3 =
a0b3 + a1b2 + a2b1 +
a3b0
C3 = -1.3 +
3.2 + (-1)1 + 4.1 = -3 + 6 -1 +4 = 1x3
C4 =
a0b4 + a1b3 + a2b2 +
a3b1 + a4b0
C4 = -1.0 +
3.3 +(-1).2 + 4.3 + 0.1 = 0 + 9 -2 +12 +0 = 4x4
C5 =
a0b5 + a1b4 + a2b3 +
a3b2 + a4b1+ a5b0
C5 = -1.0 + 3.0 + (-1).3 + 4.2 + 0.1 +
0.1 = 0 + 0 -3 + 8 + 0 + 0 = 0x5
f(x) g(x) = c0x0
+ c1x1 + c2x2 + ……. + c5x5
f(x)
g(x) = -1x0 + 2x1 + 0x2 + 1x3 + 4x4
+ 0x5
jadi,
f(x) g(x) = -1 + 2x + x3 + 4x4
9. misalkan z6
= ( 0,1,2,3,4,5 ) jelas z6 merupakan ring terhadap operasi
penjumlahan pada modulo 6, jika f(x) = 2 + 3x2 – 5x3 – 4x5
dan g(x) = -5 + 4x + 5x2 – 7x3
– 5x5 merupakan dua polynomial atas ring ( z6, +6, x6)
maka tentukan f(x) + g(x) ?
Diket :
f(x) = 2 + 3x2
– 5x3 – 4x5
g(x) = -5 + 4x +
5x2 – 7x3 – 5x5
maka diperoleh :
a0 = 2 b0
= -5
a1 =
0 b1 = 4
a2 = 3 b2
= 5
a3 = -5 b3
= -7
a4 = 0 b4
= 0
a5 = -4 b5
= -5
ditanya : f(x) + g(x) ….. ?
jawab :
f(x) + g(x) = (a0
+ b0)x0 + (a1 + b1)x1
+ (a2 + b2)x2
+ (a3 + b3)x3 + (a4 + b4)x4
+ (a5 + b5)x5
f(x) + g(x) =
(2+(-5)) x0 + (0+4) x1 + (3+5) x2 + (-5+ (-7))
x3 + (0+0) x4+ (-4 + (-5)) x5
f(x) + g(x) = 3x0
+ 4x1 + 2 x2 + 0x3 + 0x4 + (-3) x5
jadi, f(x) +
g(x) = 3 + 4x + 2 x2 -3x5
10.
misalkan z6 = ( 0,1,2,3,4,5 ) jelas z6
merupakan ring terhadap operasi perkalian pada modulo 6, jika f(x) = 2 +
3x2 – 5x3 – 4x5 dan g(x) = -5 + 4x + 5x2 – 7x3
– 5x5 merupakan dua polynomial atas ring ( z6, +6, x6)
maka tentukan f(x) + g(x) ?
Diket :
f(x) = 2 + 3x2
– 5x3 – 4x5
g(x) = -5 + 4x +
5x2 – 7x3 – 5x5
maka diperoleh :
a0 = 2 b0
= -5
a1 =
0 b1 = 4
a2 = 3 b2
= 5
a3 = -5 b3
= -7
a4 = 0 b4
= 0
a5 = -4 b5
= -5
a6 = 0 b6
= 0
ditanya : f(x) g(x) ….. ?
jawab :
f(x) g(x) = c0x0
+ c1x1 + c2x2 + ……. + c5x5
C0 =
a0b0
C0
= 2.-5 = 2x0
C1 =
a0b1 + a1b0
C1
= 2.4 + 0.-5 = 8 + 0 = 2x1
C2 =
a0b2 + a1b1+ a2b0
C2 = 2.5 +
0.4 + 3.-5 = 10 + 0 -15 = 1x2
C3 =
a0b3 + a1b2 + a2b1 +
a3b0
C3 = 2.-7 +
0.5 + 3.4 + (-5.-5) = -14 + 0 + 12 + 25 = 5x3
C4 =
a0b4 + a1b3 + a2b2 +
a3b1 + a4b0
C4 = 2.0 +
0.-7 + 3.5 + (-5).4 + 0.-5 = 0 + 0 + 15 + (-20) + 0 = 1x4
C5 =
a0b5 + a1b4 + a2b3 +
a3b2 + a4b1+ a5b0
C5 = 2.-5 + 0.0 + 3.-7 + (-5).5 +0.4 +
(-4)(-5) = -10 + 0 -21 -25 +0 +20 = 0x5
C6 =
a0b6 + a1b5 + a2b4 +
a3b3 + a4b2+ a5b1 +
a6b0
C6 = 2.0 + 0.-5 + 3.0 + (-5).-7 + 0.5 +
(-4).4 + 0.-5 = 0+0 +0 +35+0 -16+0 = 1x6
f(x) g(x) = c0x0
+ c1x1 + c2x2 + ……. + c6x6
f(x)
g(x) = 2x0 + 2x1 + 1x2 + 5x3 + 1x4
+ 0x5+ 1x6
jadi,
f(x) g(x) = 2 + 2x + x2 + 5x3 + x4 + x6
RING POLINOMIAL
7.1
. Polinomial atas ring
Jika R merupakan
sebuah ring, maka polynomial atas ring R dinotasikan dengan
F(x)
= a0x0 + a1x1 + a2x2
+ …….. + anxn + 0xn+1 + 0xn+2 + …….
Dengan symbol x bukan elemen dari R
dan dikenal sebagai indeterminate atas ring R. sedangkan a0x0
, a1x1 , a2x2 ,…….. , anxn
, 0xn+1 , 0xn+2 , ……., disebut suku-suku dari polynomial f(x) dan a0 , a1 ,
a2 ,…….. , an , 0 , 0 , ……., disebut koefisien dari suku-suku tersebut.
Perhatikan bahwa setiap polynomial hanya terdapat n suku yang tidak nol,
sehingga polynomial di atas sering juga ditulis dengan
F(x) = a0x0 +
a1x1 + a2x2 + … ….. + anxn.
Bentuk umum dari suatu polynomial adalah
p(x) = a0 + a1x1
+ a2x2 + ... + anxn =
,
dimana ai adalah koofesien dari p(x). Bila
≠ 0 maka derajat dari p(x) adalah nol.
Contoh:
P(x) = 3
+
-
2x +1 , adalah polinom yang mempunyai derajat 6.
Jika
F(x) = a0x0 + a1x1 + a2x2
+ …….. + anxn + ……. Merupakan polynomial atas ring R
dengan an ≠ 0 dan ai = 0 untuk setiap I > n, maka
polynomial demikian disebut polynomial berderajat n dan dituliskan dengan deg(f(x) = n. dalam kasus ini anxn
disebut suku utamadari polynomial dan an disebut koefisien utama.
Jika
ai = 0 untuk setiap I, maka f(x) disebut polynomial nol dan kita
tidak mendefinisikan derajat dari polynomial nol. Polynomial F(x) = a0x0
dengan a0 ≠ 0 disebut polynomial
konstan dan derajat polynomial konstan adalah nol.
Jika
R merupakan ring dengan elemen satuan dan
f(x) = a0x0 +
a1x1 + a2x2 + …….. + anxn
polynomial ats ring R dengan an adalah elemen satuan dari R, maka
polynomial demikian disebut polynomial
monik.
Dua polynomial atas ring R .
f(x) = a0x0 +
a1x1 + a2x2 + …….. + anxn
+ ………..
g(x) = b0x0 +
b1x1 + b2x2 + …….. + bnxn
+ ………..
dikatakan sama jika ai = bi untuk setiap i
selanjutnya jika R merupakan ring,
maka kita notasikan R[x] sebagai himpunan semua polynomial atas ring R dengan
indeterminate x, kemudian operasi penjumlahan pada himpunan R[x] didefinisikan
sebagai berikut :
definisi 7.1.1, jika f(x) = a0x0
+ a1x1 + a2x2 + …….. + anxn
+ ……. Dan
g(x)
= b0x0 + b1x1 + b2x2
+ …….. + bnxn + …….
Sebarang dua
polynomial didalam R[x], maka jumlah dari f(x) dan g(x) dinotasikan dengan f(x)
+ g(x) dan difenisikan dengan
f(x) + g(x) = (a0
+ b0)x0 + (a1 + b1)x1
+ (a2 + b2)x2
+…… + (an + bn)xn + ……..
dari definisi diatas jelas bahwa
jumlah dua polynomial didalam R[x] merupakan polynomial didalam R[x] lagi. Jika
f(x) dan g(x) merupakan dua polynomial tidak nol dari R[x] maka diperoleh deg{ f(x) + g(x) } ≤ maks {deg (f(x)),
deg (g(x)) }.
Operasi
perkalian didefenisikan sebagai berikut :
Definisi
7.1.2, jika f(x) = a0x0
+ a1x1 + a2x2 + …….. + anxn
+ ……. Dan
g(x)
= b0x0 + b1x1 + b2x2
+ …….. + bnxn + …….
Sebarang dua
polynomial didalam R[x], maka perkalian dari f(x) dan g(x) dinotasikan dengan
f(x) g(x) dan difenisikan dengan :
F(x) g(x) = c0x0
+ c1x1 + c2x2 + ……. + cnxn
+ …..
Dengan c1 = ∑ajbk
J+k = i
Berarti :
C0
= a0b0
C1 = a0b1
+ a1b0
C2 = a0b2
+ a1b1+ a2b0
.
.
Ci = a0bi
+ a1bi-1+ a2bi-2 + …. + aib0
Jelas bahwa perkalian sebarang dua
polynomial didalam R[x] merupakan polynomial didalam R[x] lagi. Jika f(x) dan
g(x) merupakan dua polynomial di dalam R[x] maka diperoleh deg{ f(x) g(x) } ≤ deg (f(x)) + deg (g(x))
.
Definisi dari kesamaan dua buah polinom,
yaitu:
Misalkan
dua buah polinom p(x) = a0 + a1x1
+ a2x2 + ... + anxn dan
q(x) = b0 + b1x1
+ b2x2 + ... + bmxm dikatakan sama jika dan hanya jika a1 =
b1 untuk semua I ≥ 0.
Contoh:
3
+
-
2x +1 ≠ 3
+
-
2x +1, karena terdapat koefesien yang tidak sama, yaitu x4 di ruas
kanan. Sedangkan 3
+
-
2x +1 = 3
+
-
2x +1 karena untuk masing masing suku yang bersesuaian mempunyai kooefesien
yang sama.:
Misalkan K adalah suatu Field. Secara
formal, suatu Polinomial f di atas K adalah suatu barisan tak hingga elemen K pada yang semua kecuali
sejumlah hingga dari mereka adalah 0: yakni
f
= ( ..., 0,
, ...,
,
)
atau,
f(t)
= antn + …+ a1t
+ a0
di
sini simbol t digunakan untuk menyatakan sesuatu yang tidak tertentu. Elemen ak
disebut koefis;en ke k dari f.
Jika
n adalah integer terbesar, dengan an ≠ 0, maka kita katakan bahwa derajat
dari f adalah n, ditulis der(f) =n.
Kita
juga menyebut an adalah koefisien terdepan dari f, dan, jika
an = 1, kita menyebut f suatu Polinomial Monik.
Pada
lain pihak, jika setiap koefisien dari f adalah 0 maka f disebut Polinomial
Nol, dituliskan
f=
O.Derajat dari Polinomial Nol tidak terdefinisi.
Misalkan
K[t] koleksi semua Polinomial f(t). Penjumlahan dan perkalian didetinisikan
dalam K[t] sebagai berikut.
f(t)
= antn + …+ a1t
+ a0
g(t)
= bmtm + …+ b1t
+ b0
Untuk perkalian dan penjumlahan dua buah
polinom didefinisikan sebagai berikut
Definisi
:
Misalkan
dua buah polinom p(x) = a0 + a1x1 + a2x2
+ ... + anxn dan, q(x) = b0 + b1x1
+ b2x2 + ... + bmxm , p(x) + q(x) = c0
+ c1x1 + c2x2 + … + ckxk
dimana k = maks{n,m} untuk setiap i, ci = ai + bi,
untuk 0 ≤ i ≤ k.
Definisi
:
Misalkan
dua buah polinom p(x) = a0 + a1x1 + a2x2
+ ... + anxn dan, q(x) = b0 + b1x1
+ b2x2 + ... + bmxm , p(x) . q(x) = c0
+ c1x1 + c2x2 + … + ckxk
dimana k = n + m untuk setiap i, ci = aib0
+ ai-1b1 + … + a1bi-1 +
a0bi.
Dari
definisi dan sifat-sifat polinom-polinom tersebut, berikut merupakan definisi
dari Ring Polinom.
Definisi :
Misalkan
R adalah suatu Ring Komutatif. R[x] dikatakan sebagai Ring Polinom atas R
dengan R[x] = {p(x), q(x), r(x), … } untuk
p(x)
=
, q(x) =
,
….. dan
€
R
soal dan jawaban :
1.
Jika R merupakan sebuah ring dan f(x)
= 4 + 3x + 2x2 + 6x3
+ x4 adalah polinomial
atas ring R.Tentukanlah :
a. Suku – suku dari polinomial f(x)
b. Koefisien suku- suku tersebut
Jawab :
f(x) = a0x0 + a1x1 + a2x2 +...+ anxn
|
f(x) = 4 + 3x + 2x2 + 6x3 + x4
a).
Suku-suku dari polinomial f(x) yaitu
:
a0x0 , a1x1
, a2x2,..., anxn
Maka
suku-suku dari polinomial f(x) = 4 +
3x + 2x2 + 6x3
+ x4 adalah :
4, 3x , 2x2 ,6x3 dan x4
b).
Koefisien dari suku-suku tersebut yaitu :
a0 , a1 , a2,...,
an
Maka koefisien dari suku-suku tersebut adalah :
4. 3, 2, dan 1
2.
Diketahui Z4 adalah ring dari bilangan bulat terhadap operasi
penjumlahan modulo 4. Jika f(x) = 2 +
2x4 dan g(x) = 2x4. Apakah f(x)
+ g(x) merupakan dua polinomial yang
koefisiennya merupakan elemen di Z4?
Jawab :
Z4 = {
0,1,2,3 } ( Z4, +4
)
f(x) = 2 + 2x4
Ø
a0 = 2, a1 = 0, a2
= 0, a3 = 0, a4 = 2
g(x) = 2x4
Ø
b0 = 0, b1 = 0, b2
= 0, b3 = 0, b4 = 2
f(x) + g(x)
= ( a0 +4 b0 )x0 + ( a1 +4 b1 )x1 + ( a2 +4 b2
)x2 + ( a3 +4
b3 )x3 +
( a4 +4 b4 )x4
= ( 2 + 0 ) x0+ ( 0 +4 0 )x1 + ( 0 +4 0
)x2 + ( 0 +4
0 )x3 + ( 2 +4
2 )x4
= 2 + ( 2 +4 2 )x4
= 2 + ( 0 ) x4
= 2 + 0
= 2 2 elemen Z4
v Jadi,
f(x) + g(x) merupakan dua polinomial yang koefisiennya merupakan elemen di Z4,
karena f(x) + g(x) = 2, dan 2 adalah salah satu anggota
dari Z4.
3.
Misalkan p(x) dan q(x) dengan p(x) = 2x2 + 2 dan q(x) = 2x + 2, maka
:
p(x)
+ q(x) = (2x2 + 2) + (2x + 2)
=
2x2 + 2x + 4
4.
Misalkan p(x) dan q(x) adalah polinom-polinom pada Z3[x], dengan
p(x) = 2x2 + 2 dan q(x)
= 2x + 2, maka :
p(x) . q(x) = (2x2 + 2)
. (2x + 2)
= (2.2)
+ (2.2)x + (2.2)x2 + (2.2)
= x0 + x + x2 + 1
= x2 + x + 1
Dari
soal 3,4 diatas tersebut, bila tidak ada penjelasan mengenai koefisien maka
polinomnya dianggap sebagai bilangan real. Tetapi bila ada penjelasan lebih
lanjut, maka koefisien sesuai dengan Ring yang ditunjuk. Pada Z3[x], artinya
koefisiennya adalah hanya 0, 1 dan 2 saja.
5. misalkan z5 = {0,1,2,3,4 }, jelas z5
merupakan ring terhadap operasi penjumlahan modulo 5, jika f(x) = 3 + 4x + 2x2
dan g(x) = 1 + 3x + 4x2 + 2x3 merupakan dua polynomial
atas ring ( z5, +5,
x5) maka tentukan f(x) + g(x) ?
Diket :
f(x) = 3 + 4x + 2x2
g(x) = 1 + 3x
+ 4x2 + 2x3
maka diperoleh :
a0 = 3 b0 = 1
a1 =
4 b1 = 3
a2 = 2 b2
= 4
a3 = 0 b3
= 2
ditanya : f(x) + g(x) ….. ?
jawab :
f(x) + g(x) = (a0
+ b0)x0 + (a1 + b1)x1
+ (a2 + b2)x2
+ (a3 + b3)x3
f(x) + g(x) = (
3+1 ) x0 + ( 4+3 ) x1 + ( 2+4 ) x2 + ( 0+2) x3
f(x) + g(x) = 4
x0 + 2 x1 + 1 x2 + 2 x3
jadi,
f(x) + g(x) = 4 + 2 x + x2 + 2 x3
6.
misalkan z5 = {0,1,2,3,4 },
jelas z5 merupakan ring terhadap operasi perkalian modulo 5, jika
f(x) = 3 + 4x + 2x2 dan g(x) = 1 + 3x + 4x2 + 2x3
merupakan dua polynomial atas ring ( z5,
+5, x5) maka tentukan f(x) + g(x) ?
Diket :
f(x) = 3 + 4x + 2x2
g(x) = 1 + 3x
+ 4x2 + 2x3
maka
diperoleh :
a0 = 3 b0
= 1
a1 =
4 b1 = 3
a2 = 2 b2
= 4
a3 = 0 b3
= 2
a4 = 0 b4
= 0
a5 = 0 b5
= 0
ditanya : f(x) g(x) ….. ?
jawab :
f(x) g(x) = c0x0
+ c1x1 + c2x2 + ……. + c5x5
C0 =
a0b0
C0
= 3.1 = 3x0
C1 =
a0b1 + a1b0
C1
= 3.3 + 4.1 = 9 +4 = 3x1
C2 =
a0b2 + a1b1+ a2b0
C2 = 3.4 +
4.3 + 2.1 = 12 + 12 + 2 = 1x2
C3 =
a0b3 + a1b2 + a2b1 +
a3b0
C3 = 3.2 +
4.4 + 2.3 + 0.1 = 6 + 16 + 6 + 0 = 3x3
C4 =
a0b4 + a1b3 + a2b2 +
a3b1 + a4b0
C4 = 3.0 +
4.2 + 2.4 + 0.3 + 0.1 = 0 + 8 + 8 + 0 + 0 = 1x4
C5 =
a0b5 + a1b4 + a2b3 +
a3b2 + a4b1+ a5b0
C5 = 3.0 + 4.0 + 2.2 + 0.4 + 0.3 + 0.1 =
0 + 0 + 4 + 0 + 0 + 0 = 4x5
f(x) g(x) = c0x0
+ c1x1 + c2x2 + ……. + c5x5
f(x)
g(x) = 3x0 + 3x1 + 1x2 + 3x3 + 1x4
+ 4x5
jadi,
f(x) g(x) = 3 + 3x + x2 + 3x3 + x4 + 4x5
7.
Diketahui, Polinom f(x) =
+2x + 2 dan g(x) =
+ 5
Carilah f(x) +
g(x) dalam
(x) !
Jawab :
f(x) =
+2x + 2 ,
=
3 ,
=
1 ,
=
2 ,
=
2
g(x) =
+
5 ,
=
0 ,
=
2 ,
=
0 ,
=
5
)
+
(
)
+
(
)
+
(
)
=
+
(2 + 0 )
+
(1 + 2)
+
(3 + 0)
=
+
2
+
3
+
3
Jadi, f(x) + g(x) = 3 + 2x + 3
+
3
8. Diketahui, Polinom
f(x) =
+3x - 1 dan g(x) =
+x + 1
Carilah f(x) g(x) dalam
(x) !
Jawab :
f(x) =
+3x - 1
a5 = 0 , a4 = 0 ,
=
4 ,
=
-1 ,
=
3 ,
=
-1
g(x) =
+x
+ 1 b5
= 0 , b4 = 0 ,
=
3 ,
=
2 ,
=
1 ,
=
1
f(x)g(x) =
+
+
+
……. + c5x5
C0 =
a0b0
C0
= -1.1 = -1x0
C1 =
a0b1 + a1b0
C1
= -1.1 + 3.1 = -1+3 = 2x1
C2 =
a0b2 + a1b1+ a2b0
C2 = -1.2 +
3.1 + (-1).1 = -2 + 3 -1 = 0x2
C3 =
a0b3 + a1b2 + a2b1 +
a3b0
C3 = -1.3 +
3.2 + (-1)1 + 4.1 = -3 + 6 -1 +4 = 1x3
C4 =
a0b4 + a1b3 + a2b2 +
a3b1 + a4b0
C4 = -1.0 +
3.3 +(-1).2 + 4.3 + 0.1 = 0 + 9 -2 +12 +0 = 4x4
C5 =
a0b5 + a1b4 + a2b3 +
a3b2 + a4b1+ a5b0
C5 = -1.0 + 3.0 + (-1).3 + 4.2 + 0.1 +
0.1 = 0 + 0 -3 + 8 + 0 + 0 = 0x5
f(x) g(x) = c0x0
+ c1x1 + c2x2 + ……. + c5x5
f(x)
g(x) = -1x0 + 2x1 + 0x2 + 1x3 + 4x4
+ 0x5
jadi,
f(x) g(x) = -1 + 2x + x3 + 4x4
9. misalkan z6
= ( 0,1,2,3,4,5 ) jelas z6 merupakan ring terhadap operasi
penjumlahan pada modulo 6, jika f(x) = 2 + 3x2 – 5x3 – 4x5
dan g(x) = -5 + 4x + 5x2 – 7x3
– 5x5 merupakan dua polynomial atas ring ( z6, +6, x6)
maka tentukan f(x) + g(x) ?
Diket :
f(x) = 2 + 3x2
– 5x3 – 4x5
g(x) = -5 + 4x +
5x2 – 7x3 – 5x5
maka diperoleh :
a0 = 2 b0
= -5
a1 =
0 b1 = 4
a2 = 3 b2
= 5
a3 = -5 b3
= -7
a4 = 0 b4
= 0
a5 = -4 b5
= -5
ditanya : f(x) + g(x) ….. ?
jawab :
f(x) + g(x) = (a0
+ b0)x0 + (a1 + b1)x1
+ (a2 + b2)x2
+ (a3 + b3)x3 + (a4 + b4)x4
+ (a5 + b5)x5
f(x) + g(x) =
(2+(-5)) x0 + (0+4) x1 + (3+5) x2 + (-5+ (-7))
x3 + (0+0) x4+ (-4 + (-5)) x5
f(x) + g(x) = 3x0
+ 4x1 + 2 x2 + 0x3 + 0x4 + (-3) x5
jadi, f(x) +
g(x) = 3 + 4x + 2 x2 -3x5
10.
misalkan z6 = ( 0,1,2,3,4,5 ) jelas z6
merupakan ring terhadap operasi perkalian pada modulo 6, jika f(x) = 2 +
3x2 – 5x3 – 4x5 dan g(x) = -5 + 4x + 5x2 – 7x3
– 5x5 merupakan dua polynomial atas ring ( z6, +6, x6)
maka tentukan f(x) + g(x) ?
Diket :
f(x) = 2 + 3x2
– 5x3 – 4x5
g(x) = -5 + 4x +
5x2 – 7x3 – 5x5
maka diperoleh :
a0 = 2 b0
= -5
a1 =
0 b1 = 4
a2 = 3 b2
= 5
a3 = -5 b3
= -7
a4 = 0 b4
= 0
a5 = -4 b5
= -5
a6 = 0 b6
= 0
ditanya : f(x) g(x) ….. ?
jawab :
f(x) g(x) = c0x0
+ c1x1 + c2x2 + ……. + c5x5
C0 =
a0b0
C0
= 2.-5 = 2x0
C1 =
a0b1 + a1b0
C1
= 2.4 + 0.-5 = 8 + 0 = 2x1
C2 =
a0b2 + a1b1+ a2b0
C2 = 2.5 +
0.4 + 3.-5 = 10 + 0 -15 = 1x2
C3 =
a0b3 + a1b2 + a2b1 +
a3b0
C3 = 2.-7 +
0.5 + 3.4 + (-5.-5) = -14 + 0 + 12 + 25 = 5x3
C4 =
a0b4 + a1b3 + a2b2 +
a3b1 + a4b0
C4 = 2.0 +
0.-7 + 3.5 + (-5).4 + 0.-5 = 0 + 0 + 15 + (-20) + 0 = 1x4
C5 =
a0b5 + a1b4 + a2b3 +
a3b2 + a4b1+ a5b0
C5 = 2.-5 + 0.0 + 3.-7 + (-5).5 +0.4 +
(-4)(-5) = -10 + 0 -21 -25 +0 +20 = 0x5
C6 =
a0b6 + a1b5 + a2b4 +
a3b3 + a4b2+ a5b1 +
a6b0
C6 = 2.0 + 0.-5 + 3.0 + (-5).-7 + 0.5 +
(-4).4 + 0.-5 = 0+0 +0 +35+0 -16+0 = 1x6
f(x) g(x) = c0x0
+ c1x1 + c2x2 + ……. + c6x6
f(x)
g(x) = 2x0 + 2x1 + 1x2 + 5x3 + 1x4
+ 0x5+ 1x6
jadi,
f(x) g(x) = 2 + 2x + x2 + 5x3 + x4 + x6
Langganan:
Postingan (Atom)